您正在看的初中三年级是:圆和圆的位置关系。 图形.相交两圆具有什么性质呢?

　　(二)观察、猜想、证明

　　1、观察：同样相交两圆，也构成对称图形，它是以连心线为对称轴的轴对称图形.

　　2、猜想：“相交两圆的连心线垂直平分公共弦”.

　　3、证明：

　　对A层学生让学生写出已知、求证、证明，教师组织;对B、C层在教师引导下完成.

　　已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B.

　　求证：Q1O2是AB的垂直平分线.

　　分析：要证明O1O2是AB的垂直平分线，只要证明O1O2上的点和线段AB两个端点的距离相等，于是想到连结O1A、O2A、O1B、O2B.

　　证明：连结O1A、O1B、 O2A、O2B，∵O1A=O1B，

　　∴O1点在AB的垂直平分线上.

　　又∵O2A=O2B，∴点O2在AB的垂直平分线上.

　　因此O1O2是AB的垂直平分线.

　　也可考虑利用圆的轴对称性加以证明：

　　∵⊙Ol和⊙O2，是轴对称图形，∴直线O1O2是⊙Ol和⊙O2的对称轴.

　　∴⊙Ol和⊙O2的公共点A关于直线O1O2的对称点即在⊙Ol上又在⊙O2上.

　　∴A点关于直线O1O2的对称点只能是B点，

　　∴连心线O1O2是AB的垂直平分线.

　　定理：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.

　　注意：相交两圆连心线垂直平分两圆的公共弦，而不是相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线.

　　(三)应用、反思

　　例1、已知两个等圆⊙Ol和⊙O2相交于A，B两点，⊙Ol经O2。

　　求∠OlAB的度数.

　　分析：由所学定理可知，O1O2是AB的垂直平分线，

　　又⊙O1与⊙O2是两个等圆，因此连结O1O2和AO2，AO1，△O1AO2构成等边三角形，同时可以推证⊙O l和⊙O2构成的图形不仅是以O1O2为对称轴的轴对称图形，同时还是以AB为对称轴的轴对称图形.从而可由

　　∠OlAO2=60°，推得∠OlAB=30°.

　　解：⊙O1经过O2，⊙O1与⊙O2是两个等圆

　　∴OlA= O1O2= AO2

　　∴∠O1A O2=60°，

　　又AB⊥O1O2

　　∴∠OlAB =30°.

　　例2、已知，如图，A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点。过点A的直线MN垂直于PA，交⊙O l、⊙O2于M、N。

　　求证：AM=AN.

　　证明：过点Ol、O2分别作OlC⊥MN、O2D⊥MN，垂足为C、D，则OlC∥PA∥O2D，且AC= AM，AD= AN.

　　∵OlP= O2P ，∴AD=AM，∴AM=AN.

　　例3、已知：如图，⊙Ol与⊙O2相交于A、B两点，C为⊙Ol上一点，AC交⊙O2于D，过B作直线EF交⊙Ol、⊙O2于E、F.

　　求证：EC∥DF

　　证明：连结AB

　　∵在⊙O2中∠F=∠CAB，

　　在⊙Ol中∠CAB=∠E，

　　∴∠F=∠E，∴EC∥DF.

　　反思：在解有关相交两圆的问题时，常作出连心线、公共弦，或连结交点与圆心，从而把两圆半径，公共弦长的一半，圆心距集中到一个三角形中，运用三角形有关知识来解，或者结合相交弦定理，圆周角定理综合分析求解.

　　(四)小结

　　知识：相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦.该定理可以作为证明两线垂直或证明线段相等的依据.

　　能力与方法：①在解决两圆相交的问题中常常需要作出两圆的公共弦作为辅助线，使两圆中的角或线段建立联系，为证题创造条件，起到了“桥梁”作用;②圆的对称性的应用.

　　(五)作业 教材P152习题A组7、8、9题;B组1题.

　　探究活动

　　问题1：已知AB是⊙O的直径，点O1、O2、…、On在线段AB上，分别以O1、O2、…、On为圆心作圆，使⊙O1与⊙O内切，⊙O2与⊙O1外切，⊙O3与⊙O2外切，…，⊙On与⊙On-1外切且与⊙O内切.设⊙O的周长等于C，⊙O1、⊙O2、…、⊙On的周长分别为C1、C2、…、Cn.

　　(1)当n=2时，判断Cl+C2与C的大小关系;

　　(2)当n=3时，判断Cl+C2+ C3与C的大小关系;

　　(3)当n取大于3的任一自然数时，Cl十C2十…十Cn与C的大小关系怎样?证明你的结论.

　　提示：假设⊙O、⊙O1、⊙O2、…、⊙On的半径分别为r、rl、r2、…、rn，通过周长计算，比较可得(1)Cl+C2=C;(2)Cl+C2+ C3=C;(3)Cl十C2十…十Cn=C.

　　问题2：有八个同等大小的圆形，其中七个有阴影的圆形都固定不动，第八个圆形，紧贴另外七个无滑动地滚动，当它绕完这些固定不动的圆形一周，本身将旋转了多少转?

　　提示：1、实验：用硬币作初步实验;结果硬币一共转了4转.

　　2、分析：当你把动圆无滑动地沿着 圆周长的直线上滚动时，这个动圆是转 转，但是，这个动圆是沿着弧线滚动，那么方才的说法就不正确了.