您正在看的初中三年级是:垂直于弦的直径。

　　教学目标：

　　(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证明;

　　(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;

　　(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.

　　教学重点、难点：

　　重点：①垂径定理及应用;②从感性到理性的学习能力.

　　难点：垂径定理的证明.

　　教学学习活动设计：

　　(一)实验活动，提出问题：

　　1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

　　2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

　　通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理.

　　(二)垂径定理及证明：

　　已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E.

　　求证：AE=EB， = ， = .

　　证明：连结OA、OB，则OA=OB.又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴.所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合.因此，AE=BE， = ， = .从而得到圆的一条重要性质.

　　垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

　　组织学生剖析垂径定理的条件和结论：

　　CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB， = ， = .

　　为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.

　　(三)应用和训练

　　例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.

　　分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE=EB= AB=4cm.此时解Rt△AOE即可.

　　解：连结OA，作OE⊥AB于E.

　　则AE=EB.

　　∵AB=8cm，∴AE=4cm.

　　又∵OE=3cm，

　　在Rt△AOE中，

　　(cm).

　　∴⊙O的半径为5 cm.

　　说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

　　关系：r = h+d;　r2 = d2 + (a/2)2

　　例2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证AC=BD.(证明略)

　　说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成.

　　练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流.

　　指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法;②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

　　(四)小节与反思

　　教师组织学生进行：

　　知识：(1)圆的轴对称性;(2)垂径定理及应用.

　　方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形;(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距;(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心;②垂直于弦;则可得③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.

　　(五)作业

　　教材P84中11、12、13.

　　第二课时 垂直于弦的直径(二)

　　教学目标：

　　(1)使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用;

　　(2)通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力.促进学生创造思维水平的发展和提高

　　(3)渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系.

　　教学重点、难点：

　　重点：①垂径定理的两个推论;②对推论的探究方法.

　　难点：垂径定理的推论1.

　　学习活动设计：

　　(一)分解定理(对定理的剖析)

　　1、复习提问：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.

　　2、剖析：

　　(教师指导)

　　(二)新组合，发现新问题：(A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导)

　　， ，……(包括原定理，一共有10种)

　　(三)探究新问题，归纳新结论：

　　(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.

　　(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.

　　(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

　　(4)圆的两条平行线所夹的弧相等.

　　(四)巩固练习：

　　练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?

　　(在推论1(1)中，为什么要附加“不是直径”这一条件.)

　　练习2、按图填空：在⊙O中，

　　(1)若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________;

　　(2)若AC=BC，MN为直径，AB不是直径，则则________，________，________;

　　(3)若MN⊥AB，AC=BC，则________，________，________;

　　(4)若 = ，MN为直径，则________，________，________.

　　(此题目的：巩固定理和推论)

　　(五)应用、反思

　　例、四等分 .

　　(A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成)

　　教材P80中的第3题图，是典型的错误作.

　　此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力;通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解.培养学生的思维能力.

　　(六)小结：

　　知识：垂径定理的两个推论.

　　能力：①推论的研究方法;②平分弧的作图.

　　(七)作业：教材P84中14题.

　　第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用

　　教学目的：

　　⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.

　　⑵培养学生严谨的逻辑推理能力;提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.

　　⑶通过例4(赵州桥)对学生进行爱国主义的教育;并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想

　　教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用

　　教学难点：如何进行辅助线的添加

　　教学内容：

　　(一)复习