您正在看的高中二年级是:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(一)。

　　教学目标

　　1.使学生理解圆的旋转不变性，理解圆心角、弦心距的概念;

　　2.使学生掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理及推论，并初步学会运用这些关系解决有关问题;

　　3.培养学生观察、分析、归纳的能力，向学生渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律.

　　教学重点和难点

　　圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是重点;从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系是难点.

　　教学过程设计

　　一、创设情景，引入新课

　　圆是轴对称图形.圆的这一性质，帮助我们解决了圆的许多问题.今天我们再来一起研究一下圆还有哪些特性.

　　1.动态演示，发现规律

　　投影出示图7-47，并动态显示：平行四边形绕对角线交点O旋转180°后.问：

　　(1)结果怎样?

　　学生答：和原来的平行四边形重合.

　　(2)这样的图形叫做什么图形?

　　学生答：中心对称图形.

　　投影出示图7-48，并动态显示：⊙O绕圆心O旋转180°.由学生观察后，归纳出：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.

　　投影继续演示如图7-49，让直径AB两个端点A，B绕圆心旋转30°，45°，

　　90°，让学生观察发现什么结论?

　　得出：不论绕圆心旋转多少度，都能够和原来的图形重合.

　　进一步演示，让圆绕着圆心旋转任意角度α，你发现什么?

　　学生答：仍然与原来的图形重合.

　　于是由学生归纳总结，得出圆所特有的性质：圆的旋转不变性.即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合.

　　2.圆心角，弦心距的概念.

　　我们在研究圆的旋转不变性时，⊙O绕圆心O旋转任意角度α后，出现一个角

　　∠AOB，请同学们观察一下，这个角有什么特点?如图7-50.(如有条件可电脑闪动显示图形.)

　　在学生观察的基础上，由学生说出这个角的特点：顶点在圆心上.

　　在此基础上，教师给出圆心角的定义，并板书.

　　顶点在圆心的角叫做圆心角.

　　再进一步观察，AB是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是AB所对的弦.请同学们回忆，在学习垂径定理时，常作的一条辅助线是什么?

　　学生答：过圆心O作弦AB的垂线.

　　在学生回答的基础上，教师指出：点O到AB的垂直线段OM的长度，即圆心到弦的距离叫做弦心距.如图7-51.(教师板书定义)最后指出：这节课我们就来研究圆心角之间，以及它们所对的弧、弦、弦的弦心距之间的关系.(引出课题)

　　二、大胆猜想，发现定理

　　在图7-52中，再画一圆心角∠A′OB′，如果∠AOB=∠A′OB′，(变化显示两角相等)再作出它们所对的弦AB，A′B′和弦的弦心距OM，OM′，请大家大胆猜想，其余三组量 与 ，弦AB与A′B′，弦心距OM与OM′的大小关系如何?

　　学生很容易猜出： = ，AB=A′B′，OM=OM′.

　　教师进一步提问：同学们刚才的发现仅仅是感性认识，猜想是否正确，必须进行证明，怎样证明呢?

　　学生最容易想到的是证全等的方法，但得不到 = ，怎样证明弧相等呢?

　　让学生思考并启发学生回忆等弧的定义是什么?

　　学生：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧.

　　请同学们想一想，你用什么方法让 和 重合呢?

　　学生：旋转.

　　下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明 = .

　　把∠AOB连同 旋转，使OA与OA′重合，电脑开始显示旋转过程.教师边演示边提问.

　　我们发现射线OB与射线OB′也会重合，为什么?

　　学生：因为∠AOB=∠A′OB′，

　　所以射线OB与射线OB′重合.

　　要证明 与 重合，关键在于点A与点A′，点B与点B′是否分别重合.这两对点分别重合吗?

　　学生：重合.

　　你能说明理由吗?

　　学生：因为OA=OA′，OB=OB′，

　　所以点A与点A′重合，点B与点B′重合.

　　当两段孤的两个端点重合后，我们可以得到哪些量重合呢?

　　学生： 与 重合，弦AB与A′B′重合，OM与OM′重合.

　　为什么OM也与OM′重合呢?

　　学生：根据垂线的唯一性.

　　于是有结论： = ，AB=A′B′，OM=OM′.

　　以上证明运用了圆的旋转不变性.得到结论后，教师板书证明过程，并引导学生用简洁的文字叙述这个真命题.

　　教师板书定理.

　　定理：在同圆____中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等.

　　教师引导学生补全定理内容.

　　投影显示如图7-53，⊙O与⊙O′为等圆，∠AOB=∠A′O′B′，OM与

　　O′M′分别为AB与A′B′的弦心距，请学生回答 与 .AB与A′B′，OM与O′M′还相等吗?为什么?

　　在学生回答的基础上，教师指出：以上三组量仍然相等，因为两个等圆可以叠合成同圆.(投影显示叠合过程)

　　这样通过叠合，把等圆转化成了同圆，教师把定理补充完整.

　　然后，请同学们思考定理的条件和结论分别是什么?并回答：

　　定理是在同圆或等圆这个大前提下，已知圆心角相等，得出其余三组量相等.请同学们思考，在这个大前提下，把圆心角相等与三个结论中的任何一个交换位置，可以得到三个新命题，这三个命题是真命题吗?如何证明?

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