您正在看的电子信息论文是:柔性机械臂逆动力学问题的分析和求解。

　　

　　，

　　

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　　,

　　

　　,

　　

　　,

　　

　　,

　　

　　,

　　

　　,

　　

　　,

　　

　　,

　　

　　对式(4)降阶：

　　

　　(5)

　　式中

　　

　　其中，

　　

　　i是四阶单位阵。方程(5)可化为下列形式：

　　

　　(6)

　　式中

　　

　　。求出

　　

　　的特征值分别为

　　

　　式中

　　

　　。

　　因

　　

　　的特征值存在正实部，则方程(3)所表示的系统不稳定，其解发散，即双连杆柔性臂在这种情况下，其振动问题的精确逆动力学解是发散的。

　　

　　的各特征值在复空间分布关于虚轴对称，必然会出现正实部，如选取更多阶模态函数离散时，会出现同样的情况。因此，选取更多阶模态函数离散时，其振动问题的逆动力学解是发散的。

　　如应用应用文献[10]中给出的迭代法进行逆动力学求解，当积分步长很小时，其解是发散的;当积分步长较大时，便可得到较好的结果。其原因是因为快变部分的逆动力学解发散，当步长较大时相当滤掉了快变部分，便可得到较好的结果。

　　3 慢变意义上的逆动力学

　　在进行慢变意义上的逆动力学求解时，应试图将弹性坐标中的振动部分滤掉，弹性坐标中不应含有振动部分，再结合期望的

　　

　　、

　　

　　求得力矩。

　　如图1所示，机械臂的各参数：l1=0.87m, l2=0.77m, m1=1.9kg, m2=0.8kg, m1=12.75kg, m2=2.4kg,

　　

　　=602.5

　　

　　,

　　

　　=218

　　

　　。期望运动轨迹：机械臂端点绕以(0.8, 0)为圆心，做半径为0.5m,以每周1s作匀速圆周运动。

　　由机械臂的动力学仿真结果可以看到，弹性坐标的一阶、二阶时间导数项振动幅值很大，但它们都在零值附近振动，即其慢变部分很小。因此，在式(2)中去掉弹性坐标的一阶、二阶时间导数项，相当于滤掉了弹性坐标中的振动部分，经过整理得到如下形式：

　　

　　(7)

　　式中，

　　

　　、

　　

　　、

　　

　　中含

　　

　　、

　　

　　及其一阶时间导数项。

　　将式(1)代入式(7)中，再对方程求解，可以得到弹性坐标和力矩，弹性坐标见图2(图中不含振动的曲线)。为了考察得到的力矩，将力矩代入动力学方程式(2)中，得到的各弹性坐标见图2(图中含振动的曲线)，轨迹跟踪曲线、端点坐标与期望运动相比较的误差曲线分别见图3和图4。

　　

　　含振动部分的弹性坐标

　　

　　弹性坐标的慢变部分

　　

　　

　　

　　

　　图2 各弹性坐标

　　fig.2 elastic coordinates

　　

　　图3 端点轨迹跟踪

　　fig.3 track following of the end point

　　

　　图4 端点运动的x和y方向坐标误差

　　fig.4 the errors o